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平面桁架内力计算的方法

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第25卷第8期物理教师　　　　2004年25No.　　　　　　　　　　PHYSICSTEACHER　　　　　　　　　　　　　Vol.2004)8　(平面桁架内力计算的方法褚华(安徽省芜湖市第一中学,安徽芜湖)　　在许多桥梁、房架和起重机架中,我们可以看到桁架结构.如图1就是图1铁路桥梁中桁架结构的示意图.为了确保桥梁、房架和起重机架的安全,就必须根据设计要求计算桁架结构中各杆的内力.首先我们要对实际桁架进行一些简化,把它转化为便于计算的物理桁架模型.简化如下:(1)桁架中的杆件是直杆;(2)杆件两端为光滑铰链连接;(3)桁架所受的力都作用在桁架平面内的节点上;(4)不计桁架各杆件的自重.根据上述假设,桁架的每个杆件均只在两端受二力作用,是“二力杆”因此各杆内力必然是沿杆轴线方,向的拉力或压力.下面介绍两种计算桁架内力的方法.1　节点法桁架结构中各杆的连接点称为节点.节点法就是选取某个节点为研究对象,将与这个节点相连的杆件截断,作用在节点上的力有:被截断杆件的内力,外加作用力和支座的约束反力,它们组成一个平面汇交力系,根据平面汇交力系的平衡方程∑Fx=0和∑Fy=0,并选择只含两个未知内力的节点为对象,就可以求出桁架内力.例1.一座铁路桥梁的桁架结构如图2所示,在A、L节点处均受到竖直向下的压力P作用,在B、、、DG图2H、节点均受到竖直向下的压力2P的作用.求1至6K各杆内力.解:以整个桁架为对象,根据各外力对G点的力矩平衡方程可得:FA=FL.FA和FL分别表示桁架在A、两处受到的约束反L力.方向竖直向上(图2中未画出.)再根据竖直方向的合力为零可得1FA=FL=(P+P+2P+2P+2P+2P+2P)2=6P.然后先从节点A开始,节点A受力如图3(a)所示,并假设各杆均受拉力,即力的指向背离节点.根据平面汇交力系的平衡方程可得:∑FAx=0,2a(1)F2+F1=0.(2a)2+(3a)2∑FAy=0,3aFA-P+F1=0.(2)(2a)2+(3a)2图3联立(1)、2)式解得F2=3.33P.(其次,选节点B为对象,受力如图3(b)所示.平衡方程如下∑FBx=0,F4-F2′=0.(3)∑FBy=0,F3-2P=0.(4)联立(3)、4)式解得(F4=F2′=F2=3.33P,F3=2P.最后,选节点C为对象,其受力如图3(c)所示.平衡方程如下:∑FCx=0,22F6+F5-F1=0.(5)1313∑FCy=0,—55—物理教师　　　　(2004)卷第8　　　　　　　　　　　PHYSICSTEACHER　　　　　　　　　　　　第年期　33-F3+F5-F1=0.(6)1313联立(5)、6)式解得F5=3.61P,F6=-5.33P.(在计算结果中,内力为正值,表示杆受拉力;内力为负值,表示其指向与假设指向相反,杆受压力.2　截面法所谓截面法就是选取部分桁架为研究对象,可设想用一截面m-n把跟选取部分桁架相连的杆件截断,根据一般平面力系的平衡方程,即∑Fx=0,∑Fy=0,∑M=0进行求解.由于平衡方程是三个,所以选取部分桁架时,一般只应截断不超过三个未知内力的杆件,以便求解.下面我们用截面法求“例1”中的第12杆的内力.为了求12杆的内力,可设想用一截面m-n将杆件12、、截断,并选取右半部1314分桁架为研究对象,并假设所截各杆件均受拉力,其受力图如图4所示.该部分桁架对H图4点的力矩平衡方程如下:3aF14-2a?P-4aP+4aFL=0,2解得F14=-5.33P.(7)再根据∑Fx=0和∑Fy=0得如下平衡方程:2F14+F12+F13=0,(8)132F13+FL-2P-2P-P=0.(9)13由(9)式得F13=-1.20P.把F14和F13的值代入(8)式得F12=6.00P.下面我们再通过一道例题,讲一步说明“节点法”和“截面法”在求桁架中杆件内的灵活运用.例2.如图5所示,桁架由同一竖直面内的多根轻杆铰接而成,其中A、、、BFH、铰接点I在同一水平直线上,且I处图5可以无摩擦地在水平面上滚动.铰接点D承受有竖直向下的压力P/2,绞接点C承受竖直向下的压力P,求轻杆8的内力.—56—解:由题意可判断A、两处所受的约束反力FA和IFI只可能沿竖直方向.以整个桁架为对象,列各外力对支点A的力矩平衡方程如下:PP?a+?a-FI?a=0,242解得FI=P/2.FI的方向竖直向上,由整个桁架在竖直方向的平衡方程:FI+FA-P-P/2=0,解得　FA=P.FA的方向也竖直向上.先用“节点法”求轻杆2中的张力,选节点A为研究对象.受力如图6所示,并假设杆均受拉力,则不难得到:F1=-2FA=-2P,F2=FA=P.图6　　　　　　　　　　　　图7然后用“截面法”求轻杆3的内力.为此设想用一截面m-n截断轻杆3、、、,并取轻杆10、、、、为研究对象,假设杆均受拉力,受力如图7(a)所15示,并用F代替F6、9、14的作用,图7(a)的等效受力FF图如图7(b)所示,不难得出:2PF=-2FI=-P,F3=FI=.22再对节点B进行受力分析,受力如图8所示,不难得出:F5cos45°F3′F2=0,+-2解得F5=P.2　　图8　　　　　　　　　　　　图9最后以节点E为研究对象,受力如图9所示,不难得出:2F9′=F5′=P,2cos45°=P.故F8=2F5′表示轻杆8的内力是拉力.(收稿日期:2003-11-18)